一、条件分布的定义

F ( x ∣ A ) = P { X ≤ x ∣ A } F(x|A) = P\{X≤x|A\} F(x∣A)=P{X≤x∣A}
至于这个定义，其实就是条件概率嘛： P { X ≤ x ∣ A } = P { X ≤ x , A } P ( A ) P\{X≤x|A\} = \frac{P\{X ≤ x, A\}}{P(A)} P{X≤x∣A}=P(A)P{X≤x,A}​

二、二维离散型条件分布的计算

我们直接上具体的例子，难度其实是不大的：已知 X, Y 的联合分布表如下：

需要计算各种条件分布。

因为是离散型的随机变量，X 或者 Y 的取值被限定在了那几个值里面。所以各种条件概率就可以表示为： P { X = 0 ∣ Y = 0 } ; P { X = 1 ∣ Y = 0 } ; P { X = 0 ∣ Y = 1 } ; P { X = 1 ∣ Y = 1 } P { Y = 0 ∣ X = 0 } ; P { Y = 1 ∣ X = 0 } ; P { Y = 0 ∣ X = 1 } ; P { Y = 1 ∣ X = 1 } P\{X=0|Y=0\};P\{X=1|Y=0\};P\{X=0|Y=1\};P\{X=1|Y=1\}\\ P\{Y=0|X=0\};P\{Y=1|X=0\};P\{Y=0|X=1\};P\{Y=1|X=1\} P{X=0∣Y=0};P{X=1∣Y=0};P{X=0∣Y=1};P{X=1∣Y=1}P{Y=0∣X=0};P{Y=1∣X=0};P{Y=0∣X=1};P{Y=1∣X=1}

这种题目有固定解法：
【1】先把 X, Y 的边缘分布求出来（这在上一篇 $Blog$ 里面涉及了）也就是说，通过这一步，我们可以计算得到： P { X = 0 } , P { X = 1 } , P { Y = 0 } , P { Y = 1 } P\{X=0\}, P\{X=1\}, P\{Y=0\}, P\{Y=1\} P{X=0},P{X=1},P{Y=0},P{Y=1}

【2】我们举一个例子说明：如果要求的是 P { X = 1 ∣ Y = 0 } P\{X=1|Y=0\} P{X=1∣Y=0}，那么根据定义可以表示为： P { X = 1 ∣ Y = 0 } = P { X = 1 , Y = 0 } P { Y = 0 } P\{X=1|Y=0\} = \frac{P\{X=1,Y=0\}}{P\{Y=0\}} P{X=1∣Y=0}=P{Y=0}P{X=1,Y=0}​
我们发现： P { X = 1 , Y = 0 } P\{X=1,Y=0\} P{X=1,Y=0} 就是联合分布表里面 X = 1, Y = 0 的概率嘛，直接从上表找到即可（为0.3）

【3】除一下秒得结果

三、连续型随机变量的条件分布和条件密度

同样，我们先简单给出定义：
对于 X, Y 两个随机变量，其联合密度函数已知：$f(x,y)$，又已知了它们的边缘密度函数 $f_X(x),f_Y(y)$
如果 $f_Y(y)>0$，那么在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数即为：$$F(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$$
两边一同时求导就可以得到 X 的条件密度函数了（值得一提的是，对等式右边是一个变上限积分的求导）得到$$f(x|y)=F^{\prime }(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\text{\hspace{1em}(1)}$$
同理，Y 的条件密度函数也是一样的：$$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\text{\hspace{1em}(2)}$$

不过大家在计算的时候要注意一点：如果题目是这样问的：求 $f(y|x=2)$，那么我们的计算公式就应该变成：$$\frac{f(2,y)}{f_X(2)}$$

好啦，这就是本次 $Blog$ 的全部内容，下一篇 $Blog$ 我们将会学习二维随机变量函数的分布和分布密度（包括离散型和连续型）