PDF、PMF、CDF

1. 概念解释

PDF：概率密度函数(probability density function), 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数(在不至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

PMF：概率质量函数(probability mass function), 在概率论中，概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。

CDF：累积分布函数 (cumulative distribution function)，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。

2. 数学表示

2.1 PDF

如果XX是连续型随机变量，定义概率密度函数为$f_X(x)$，用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

2.2 PMF

如果XX离散型随机变量，定义概率质量函数为$f_X(x)$,PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即

2.3 CDF

不管是什么类型(连续/离散/其他)的随机变量，都可以定义它的累积分布函数，有时简称为分布函数。

对于连续型随机变量，显然有：

那么CDF就是PDF的积分，PDF就是CDF的导数。

对于离散型随机变量，其CDF是分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF为:

Pareto(帕累托)分布

Survial function 生成函数

The survival function is also known as the survivor function[2] or reliability function.[3]

又称 complementary cumulative distribution function.

其实就是1-CDF

Pareto distribution

注意形状参数$\alpha$必须是正的！

Generalized Pareto distribution

注意：形状参数(或者称为尾部指数)$\xi\in(-\infty,+\infty)$！

因此，GP 分布是指数分布 (k = 0) 和帕累托分布 (k>0) 的广义化。GP 将这两个分布包括在更大的族中，因此可以实现连续的形状范围。

Matlab实现

广义帕累托 (GP) 分布是一种右偏态分布，使用形状参数 k 和尺度参数 sigma 进行参数化。k 也称为“尾部指数”参数，可以为正值、零或负值。

x = linspace(0,10,1000);

plot(x,gppdf(x,-.4,1),'-', x,gppdf(x,0,1),'-', x,gppdf(x,2,1),'-');

xlabel('x / sigma');

ylabel('Probability density');

legend({'k < 0' 'k = 0' 'k > 0'});

其他代码见链接！